复函数求积分问题其中C是逆时针方向的圆 |z|=2.这道题还能不能用柯西积分定理来求,

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复函数求积分问题

其中C是逆时针方向的圆 |z|=2.
这道题还能不能用柯西积分定理来求,

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如果被积函数不能通过比较容易的变形化简为f(z)/(z-z0)的形式,就不能用柯西积分公式,取而代之的是留数定理,本题中二级极点z=i和一级极点z=-i都在|z|=2.内部,分别计算其留数,Res[f(z).-i]=lim(z^2+z+1)/(z-i)^2=i/4,Res[f(z).,i]=lim[(z^2+z+1)/(z+i)]'=lim(z^2+2iz+i-1)/(z+i)^2=1-i/4,所以积分=2πi(i/4+1-i/4)=2πi

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